Pengantar Logika Proposisional & Operator Logika

De finisi


Logika adalah suatu sistem berbasis proposisi.
Sistem adalah kesatuan yang terdiri dari komponen atau elemen yangdihubungkan bersama untuk memudahkan aliran informasi, materi, atau energi untuk mencapai suatu tujuan. Proposisi adalah suatu pernyataan (statement) yang dapat bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.
Dikatakan bahwa nilai kebenaran suatu proposisi adalah salah satu dari
Benar (True) disajikan dengan T atau Salah (False) disajikan dengan F.
Dalam untaian digital (digital circuits) disajikan dengan 0 dan 1.
Jika proposisi-proposisi akan dikombinasikan untuk memperoleh propo-
sisi baru maka diperlukan operator logika yang dilambangkan sebagai
berikut.

Baca Selengkapnya

Continue reading →

Hukum-Hukum Aljabar Proposisi

PEMBAHASAN

1.     Hukum-Hukum Aljabar Proposisi

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:

a.       Hukum Idempoten (Idem)

• p∨p ek p
• p∧p ek p

b.      Hukum Asosiatif (As)

• (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
• (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

c.       Hukum  Komutatif (Kom)

• p∨q ek q∨p
• p∧q ek q∧p

d.      Hukum Distributif (Dist)

• p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)
• p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

e.       Hukum Identitas (Id)

• p∨F ek p
• p∨T ek T
• p∧F ek F
• p∧T ek p

f.       Hukum Komplemen (Komp)

• p∨∼p ek T
• p∧∼p ek F
• ∼(∼p) ek p
• ∼T ek F

g.      Hukum Transposisi (Trans)

·         p⇒q ek ∼q⇒∼p

h.      Hukum Implikasi (Imp)

·         p⇒q ek ∼p∨q

i.        Hukum Ekivalensi (Eki)

• p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)
• p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

j.        Hukum Eksportasi (Eksp)

·         (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

k.      Hukum De Morgan (DM)

• ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q
• ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

2.     Pembuktian Hukum-Hukum Aljabar Proposisi

a.       Hukum Idempoten (Idem)

• p v q ek p 
• p ∧ p ek p

P	Q	p v q	p ^ q
B	B	B	B
B	S	B	S
S	B	B	S
S	S	S	S

b.      Hukum Asosiatif (As)

• (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

p	Q	r	Pvq	Qvr	pv(qvr)	(pvq)vr
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	B	B
B	S	B	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B
S	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	B	B	B
S	S	B	S	B	B	B
S	S	S	S	S	S	S

• (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

p	Q	r	p^q	q^r	p^ (q^r)	(p^q) ^r
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S
B	S	B	S	S	S	S
B	S	S	S	S	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	B	S	S	S	S	S
S	S	B	S	S	S	S
S	S	S	S	S	S	S

c.       Hukum  Komutatif (Kom)

• p∨q ek q∨p 
• p∧q ek q∧p

p	q	p v q	qvp	p ^ q	q ^ p
B	B	B	B	B	B
B	S	B	B	S	S
S	B	B	B	S	S
S	S	S	S	S	S

d.      Hukum Distributif (Dist)

• p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)

p	q	R	pvq	pvr	q^r	pv(q^r)	(pvq) ^ (pvr)
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	S	B	B
B	S	B	B	B	S	B	B
B	S	S	B	B	S	B	B
S	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	S	S	S
S	S	B	S	B	S	S	S
S	S	S	S	S	S	S	S

• p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

P	q	R	p^q	p^r	qvr	p^ (qvr)	(p^q) v (p^r)
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	B	B	B
B	S	B	S	B	B	B	B
B	S	S	S	S	S	S	S
S	B	B	S	S	B	S	S
S	B	S	S	S	B	S	S
S	S	B	S	S	B	S	S
S	S	S	S	S	S	S	S

e.       Hukum Identitas (Id)

• p∨F ek p
• p∨T ek T
• p∧F ek F
• p∧T ek p

p	S	B	p v S	p v B	p ^ S	p ^ B
B	S	B	B	B	S	B
S	S	B	S	B	S	S

f.       Hukum Komplemen (Komp)

• p∨∼p ek B
• p∧∼p ek S
• 
  ∼(∼p) ek p
• 
  ∼B ek S

p	~ p	~(~ p)	B	~B	S	p v~p	p ^ ~p
B	S	B	B	S	S	B	S
S	B	S	B	S	S	B	S

g.      Hukum Transposisi (Trans)

·         p→q ek ∼q→∼p

p	Q	~ q	~ p	p → q	~q →~p
B	B	S	S	B	B
B	S	B	S	S	S
S	B	S	B	B	B
S	S	B	B	B	B

h.      Hukum Implikasi (Imp)

·         p→q ek ∼p∨q

p	Q	~ p	p → q	~p v q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

i.        Hukum Ekivalensi (Eki)

• p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)

p	q	p⇔q	(p⇒q)	(q⇒p)	(p⇒q)∧(q⇒p)
B	B	B	B	B	B
B	S	S	S	B	S
S	B	S	B	S	S
S	S	B	B	B	B

• p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

P	q	∼q	∼p	p⇔q	(p∧q)	(∼q∧∼p)	(p∧q)∨(∼q∧∼p)
B	B	S	S	B	B	S	B
B	S	B	S	S	S	S	S
S	B	S	B	S	S	S	S
S	S	B	B	B	S	B	B

j.        Hukum Eksportasi (Eksp)

·         (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

P	q	r	(p∧q)	(p∧q)⇒r	(q⇒r)	p⇒(q⇒r)
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S
B	S	B	S	B	B	B
B	S	S	S	B	B	B
S	B	B	S	B	B	B
S	B	S	S	B	S	B
S	S	B	S	B	B	B
S	S	S	S	B	B	B

k.      Hukum De Morgan (DM)

• ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q

p	q	∼q	∼p	(p∨q)	∼(p∨q)	∼p∧∼q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	B	S	S	B	B
S	B	S	B	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

• ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

P	q	∼q	∼p	(p∧q)	∼(p∧q)	∼p∨∼q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	B	S	S	B	B
S	B	S	B	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

3.      Ekuivalensi , Tautologi , Kontradiksi, Kontingensi dan Ekuivalen Logis

a.        Ekuivalensi 

Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika, jika memiliki nilai kebenaran yang sama dan dinotasikan A ≅ B.

Tabel kebenaran Ekuivalensi 

P	Q	~ p	p→q	~ p v q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

Ekuivalensi

b.      Tautologi 

Tautology adalah suatu pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran yang selalu benar . 

Tabel Kebenaran Tautologi P → ( p v q )

P	Q	p v q	P → ( p v q )
B	B	B	B
B	S	B	B
S	B	B	B
S	S	S	B

c.       Kontradiksi 

Kontradiksi adalah suatu prnyataan majemuk yamg memiliki nilai kebenaran yang selalu salah.

Tabel Kebenaran Kontradiksi

P	Q	~q	p^q	p→~q	( p^q ) ^ ( p→ ~q )
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	S
S	B	S	S	B	S
S	S	B	S	B	S

d.      Kontingensi 

Kontingensi adalah suatu pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang benar dan salah. 

Tabel Kebenaran Kontingensi 

P	Q	R	Pvq	(pvq)→r
B	B	B	B	B
B	B	S	B	S
B	S	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	B	B
S	B	S	B	S
S	S	B	B	B
S	S	S	S	B

5. Ekuivalen Logis

Suatu ekspresi logika disebut ekuivalen logis apabila :

1)      Ekspresi logikanya adalah tautologis 

2)      Ekspresi logikanya adalah kontradiksi 

3)      Ekspresi logikanya adalah contingent, tetapi urutan T dan F pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama 

Contoh-contoh soal

1.        p→q

~ p

p∴~q

Argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk iplikasi sebagai berikut .

[( p →q ) ^ ~p ] →~q

Tabel Kebenaran dari [( p →q ) ^ ~p ] →~q 

P	Q	~p	~ q	p→q	( p→q)^~p	[(p→q)^~p]→~q
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	B	S
S	S	B	B	B	B	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa [( p →q ) ^ ~p ] →~q merupakan kontingensi .dengan demikian modus tollens merupakan argumentasi yang tidak sah .

2.        ~q →~p

p 
∴ q

argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi sebagai berikut . 

[( ~q → ~ p ) ^ p ] → q

Tabel Kebenaran dari [( ~q → ~ p ) ^ p ] → q

p	q	~p	~q	~q → ~p	( ~q → ~p ) ^ p	[ (~q → ~p ) ^ p ] →q
B	B	S	S	B	B	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	S	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa [( ~q → ~ p ) ^ p ] → q merupakan tautologi .dengan demikian modus pollens merupakan argumentasi yang sah . 

3.        ~p v q 

p

∴ q

Argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam implikasi sebagai berikut.

[ ( ~p v q ) ^ p ] →q 

Tabel kebenaran [ ( ~p v q ) ^ p ] →q 

P	q	~p	~p v q	(~p vq ) ^ p	[ ( ~p v q ) ^ p ] →q
B	B	S	B	B	B
B	S	S	S	S	B
S	B	B	B	S	B
S	S	B	B	S	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa [ ( ~p v q ) ^ p ] →q merupakan suatu Tautologi .Dengan demikian modus ponens merupakan argumentasi yang sah. 

4.         Pvq 

q→r

∴ ~p→r

Argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi sebagai berikut.

( p v q ) ^ ( q v r ) →( ~p → r )

Tabel kebenaran ( p v q ) ^ ( q v r ) →( ~p → r )

P	q	r	~p	(pvq )	(q→r )	~p → r	( p v q ) ^ ( q→ r )	( p v q ) ^ (q v r ) → ( ~p → r )
B	B	B	S	B	B	B	B	B
B	B	S	S	B	S	B	S	B
B	S	B	S	B	B	B	B	B
B	S	S	S	B	B	B	B	B
S	B	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	B	S	S	S	B
S	S	B	B	S	B	B	S	B
S	S	S	B	S	B	S	S	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa ( p v q ) ^ ( q v r ) →( ~p → r ) merupakan suatu Tautologi .Dengan demikian silogisme merupakan argumentasi yang sah.

Download File

Continue reading →