Hukum-Hukum Aljabar Proposisi

PEMBAHASAN

1.     Hukum-Hukum Aljabar Proposisi

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:

a.       Hukum Idempoten (Idem)

• p∨p ek p
• p∧p ek p

b.      Hukum Asosiatif (As)

• (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
• (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

c.       Hukum  Komutatif (Kom)

• p∨q ek q∨p
• p∧q ek q∧p

d.      Hukum Distributif (Dist)

• p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)
• p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

e.       Hukum Identitas (Id)

• p∨F ek p
• p∨T ek T
• p∧F ek F
• p∧T ek p

f.       Hukum Komplemen (Komp)

• p∨∼p ek T
• p∧∼p ek F
• ∼(∼p) ek p
• ∼T ek F

g.      Hukum Transposisi (Trans)

·         p⇒q ek ∼q⇒∼p

h.      Hukum Implikasi (Imp)

·         p⇒q ek ∼p∨q

i.        Hukum Ekivalensi (Eki)

• p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)
• p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

j.        Hukum Eksportasi (Eksp)

·         (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

k.      Hukum De Morgan (DM)

• ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q
• ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

2.     Pembuktian Hukum-Hukum Aljabar Proposisi

a.       Hukum Idempoten (Idem)

• p v q ek p 
• p ∧ p ek p

P	Q	p v q	p ^ q
B	B	B	B
B	S	B	S
S	B	B	S
S	S	S	S

b.      Hukum Asosiatif (As)

• (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

p	Q	r	Pvq	Qvr	pv(qvr)	(pvq)vr
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	B	B
B	S	B	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B
S	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	B	B	B
S	S	B	S	B	B	B
S	S	S	S	S	S	S

• (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

p	Q	r	p^q	q^r	p^ (q^r)	(p^q) ^r
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S
B	S	B	S	S	S	S
B	S	S	S	S	S	S
S	B	B	S	B	S	S
S	B	S	S	S	S	S
S	S	B	S	S	S	S
S	S	S	S	S	S	S

c.       Hukum  Komutatif (Kom)

• p∨q ek q∨p 
• p∧q ek q∧p

p	q	p v q	qvp	p ^ q	q ^ p
B	B	B	B	B	B
B	S	B	B	S	S
S	B	B	B	S	S
S	S	S	S	S	S

d.      Hukum Distributif (Dist)

• p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)

p	q	R	pvq	pvr	q^r	pv(q^r)	(pvq) ^ (pvr)
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	S	B	B
B	S	B	B	B	S	B	B
B	S	S	B	B	S	B	B
S	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	S	S	S
S	S	B	S	B	S	S	S
S	S	S	S	S	S	S	S

• p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

P	q	R	p^q	p^r	qvr	p^ (qvr)	(p^q) v (p^r)
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	B	B	B
B	S	B	S	B	B	B	B
B	S	S	S	S	S	S	S
S	B	B	S	S	B	S	S
S	B	S	S	S	B	S	S
S	S	B	S	S	B	S	S
S	S	S	S	S	S	S	S

e.       Hukum Identitas (Id)

• p∨F ek p
• p∨T ek T
• p∧F ek F
• p∧T ek p

p	S	B	p v S	p v B	p ^ S	p ^ B
B	S	B	B	B	S	B
S	S	B	S	B	S	S

f.       Hukum Komplemen (Komp)

• p∨∼p ek B
• p∧∼p ek S
• 
  ∼(∼p) ek p
• 
  ∼B ek S

p	~ p	~(~ p)	B	~B	S	p v~p	p ^ ~p
B	S	B	B	S	S	B	S
S	B	S	B	S	S	B	S

g.      Hukum Transposisi (Trans)

·         p→q ek ∼q→∼p

p	Q	~ q	~ p	p → q	~q →~p
B	B	S	S	B	B
B	S	B	S	S	S
S	B	S	B	B	B
S	S	B	B	B	B

h.      Hukum Implikasi (Imp)

·         p→q ek ∼p∨q

p	Q	~ p	p → q	~p v q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

i.        Hukum Ekivalensi (Eki)

• p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)

p	q	p⇔q	(p⇒q)	(q⇒p)	(p⇒q)∧(q⇒p)
B	B	B	B	B	B
B	S	S	S	B	S
S	B	S	B	S	S
S	S	B	B	B	B

• p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

P	q	∼q	∼p	p⇔q	(p∧q)	(∼q∧∼p)	(p∧q)∨(∼q∧∼p)
B	B	S	S	B	B	S	B
B	S	B	S	S	S	S	S
S	B	S	B	S	S	S	S
S	S	B	B	B	S	B	B

j.        Hukum Eksportasi (Eksp)

·         (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

P	q	r	(p∧q)	(p∧q)⇒r	(q⇒r)	p⇒(q⇒r)
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S
B	S	B	S	B	B	B
B	S	S	S	B	B	B
S	B	B	S	B	B	B
S	B	S	S	B	S	B
S	S	B	S	B	B	B
S	S	S	S	B	B	B

k.      Hukum De Morgan (DM)

• ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q

p	q	∼q	∼p	(p∨q)	∼(p∨q)	∼p∧∼q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	B	S	S	B	B
S	B	S	B	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

• ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

P	q	∼q	∼p	(p∧q)	∼(p∧q)	∼p∨∼q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	B	S	S	B	B
S	B	S	B	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

3.      Ekuivalensi , Tautologi , Kontradiksi, Kontingensi dan Ekuivalen Logis

a.        Ekuivalensi 

Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika, jika memiliki nilai kebenaran yang sama dan dinotasikan A ≅ B.

Tabel kebenaran Ekuivalensi 

P	Q	~ p	p→q	~ p v q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

Ekuivalensi

b.      Tautologi 

Tautology adalah suatu pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran yang selalu benar . 

Tabel Kebenaran Tautologi P → ( p v q )

P	Q	p v q	P → ( p v q )
B	B	B	B
B	S	B	B
S	B	B	B
S	S	S	B

c.       Kontradiksi 

Kontradiksi adalah suatu prnyataan majemuk yamg memiliki nilai kebenaran yang selalu salah.

Tabel Kebenaran Kontradiksi

P	Q	~q	p^q	p→~q	( p^q ) ^ ( p→ ~q )
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	S
S	B	S	S	B	S
S	S	B	S	B	S

d.      Kontingensi 

Kontingensi adalah suatu pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang benar dan salah. 

Tabel Kebenaran Kontingensi 

P	Q	R	Pvq	(pvq)→r
B	B	B	B	B
B	B	S	B	S
B	S	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	B	B
S	B	S	B	S
S	S	B	B	B
S	S	S	S	B

5. Ekuivalen Logis

Suatu ekspresi logika disebut ekuivalen logis apabila :

1)      Ekspresi logikanya adalah tautologis 

2)      Ekspresi logikanya adalah kontradiksi 

3)      Ekspresi logikanya adalah contingent, tetapi urutan T dan F pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama 

Contoh-contoh soal

1.        p→q

~ p

p∴~q

Argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk iplikasi sebagai berikut .

[( p →q ) ^ ~p ] →~q

Tabel Kebenaran dari [( p →q ) ^ ~p ] →~q 

P	Q	~p	~ q	p→q	( p→q)^~p	[(p→q)^~p]→~q
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	B	S
S	S	B	B	B	B	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa [( p →q ) ^ ~p ] →~q merupakan kontingensi .dengan demikian modus tollens merupakan argumentasi yang tidak sah .

2.        ~q →~p

p 
∴ q

argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi sebagai berikut . 

[( ~q → ~ p ) ^ p ] → q

Tabel Kebenaran dari [( ~q → ~ p ) ^ p ] → q

p	q	~p	~q	~q → ~p	( ~q → ~p ) ^ p	[ (~q → ~p ) ^ p ] →q
B	B	S	S	B	B	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	S	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa [( ~q → ~ p ) ^ p ] → q merupakan tautologi .dengan demikian modus pollens merupakan argumentasi yang sah . 

3.        ~p v q 

p

∴ q

Argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam implikasi sebagai berikut.

[ ( ~p v q ) ^ p ] →q 

Tabel kebenaran [ ( ~p v q ) ^ p ] →q 

P	q	~p	~p v q	(~p vq ) ^ p	[ ( ~p v q ) ^ p ] →q
B	B	S	B	B	B
B	S	S	S	S	B
S	B	B	B	S	B
S	S	B	B	S	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa [ ( ~p v q ) ^ p ] →q merupakan suatu Tautologi .Dengan demikian modus ponens merupakan argumentasi yang sah. 

4.         Pvq 

q→r

∴ ~p→r

Argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi sebagai berikut.

( p v q ) ^ ( q v r ) →( ~p → r )

Tabel kebenaran ( p v q ) ^ ( q v r ) →( ~p → r )

P	q	r	~p	(pvq )	(q→r )	~p → r	( p v q ) ^ ( q→ r )	( p v q ) ^ (q v r ) → ( ~p → r )
B	B	B	S	B	B	B	B	B
B	B	S	S	B	S	B	S	B
B	S	B	S	B	B	B	B	B
B	S	S	S	B	B	B	B	B
S	B	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	B	S	S	S	B
S	S	B	B	S	B	B	S	B
S	S	S	B	S	B	S	S	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa ( p v q ) ^ ( q v r ) →( ~p → r ) merupakan suatu Tautologi .Dengan demikian silogisme merupakan argumentasi yang sah.

Download File